녹색아카데미에서는 『장회익의 자연철학 강의』로 ‘자연철학 세미나’를 하고 있습니다. 2019년 11월부터 하던 세미나를, 코로나19 상황으로 온라인세미나로 바꿔 격주로 목요일에 진행합니다. 자세한 내용은 자연철학 세미나 게시판과 유튜브 채널(녹색아카데미)를 참고해주세요.
세미나와 별도로 제작된 ‘자연철학 이야기’ 대담영상을 유튜브에서 보실 수 있습니다. 이 자료는 대담 영상을 녹취한 것입니다. 현재 세미나 진도에 맞춰서 4장 양자역학부터 하고 있습니다. 공부에 참고해주시면 좋겠습니다.
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“장회익의 자연철학 이야기” 5-4편에서는 『장회익의 자연철학 강의』 중 ‘제4장 소를 얻다: 양자역학’의 내용 정리 부분을 놓고 이야기를 나눕니다. 5-4편에서는 주로 장회익 선생님이 양자역학에 대해 새롭게 밝혀내거나 정리한 부분, 즉 서울해석의 주요 내용에 대해 다루었습니다.
구체적으로는 겹실틈(이중 슬릿) 실험 이해의 연장선에서 ‘상호작용-결여’ 측정 실험의 이해 문제를 다루고, 양자역학을 통해서 우리 바탕관념에 해당하는 공간개념이 어떻게 변화하였는지를 이야기합니다. 그리고 양자역학의 새 공리 체계에 대해 이야기 나눕니다.
이 편에서 다룬 주제들은 아래와 같은 것들입니다.
대담영상 5-4. 공간 개념의 변화와 양자역학의 새 공리 체계
- Q5. ‘상호작용-결여’ 측정?
- Q5-1. ’상호작용-결여’ 측정의 해석?
- Q5-2. 변별체가 일으키는 상태 전환이 두 번째 변화의 원리?
- 사건을 일으켰느냐 안 일으켰느냐에 따라서 성향이 달라진다
- Q6. 공간개념의 변화?
- Q6-1. 푸리에 변환?
- Q6-2. 맞공간?
- Q6-3. 양자역학의 기본 개념 두 가지?
- 시-공간과 운동량-에너지 공간이 복합 4차원을 이룬다
- 존재물은 위치나 운동량을 ‘점유’하는 것이 아니라 그러한 것에 해당하는 사건을 일으킬 ‘성향’을 가진다
- Q6-4. 이제 위치와 운동량은 상태가 아니라 상태함수의 해석 결과가 되나?
- Q7. 양자역학의 새 공리 체계?
- Q7-1. 양자역학의 새 공리 체계와 하이젠베르크 불확정성 원리
공간 개념의 변화와 양자역학의 새 공리 체계
- Q5. ‘상호작용-결여’ 측정?
근본적으로는 이중슬릿 실험과 성격에서 큰 차이가 없다. 그런데 언듯 보면 아주 달라보이는 실험이다.
이번에는 대상을 레이저로 했다. 양자역학에서는 정지질량이 0이 아닌 것(예를 들어 보통 입자들)과 0인 것(빛)으로 나눠서 본다. 정지질량이 0인 것도 슈뢰딩거 방정식이 성립한다. 그것에 해당하는 슈뢰딩거 방정식이 우리 책에 나온다. 양자역학에서 성격이 기본적으로 같기 때문에.
여기서 편의상 빛 입자, 그러니까 레이저를 쏜다. 그리고 빛이 반투명막을 만나면 절반은 반사해서 U로 올라가고 나머지 절반은 통과해서 V로 진행하는 물질이 있다.
그때 위상이 90도 바뀌는 특별한 반투명막을 설치한다. 그러면 통과하는 것은 위상이 90도 바뀌고 반사하는 것은 그대로 간다.
<질문> 위상이 바뀐다는 것은 사인, 코사인 그래프에서 2분의 파이만큼 바뀌어서 간다는 것인가?
그렇다. 90도만큼 바뀐다. 반투명막에서 반사된 것을 U라고 하고 똑바로 간 것을 V라고 하자. U는 B에서 또 한번 반사를 한다. B는 그냥 거울이다. 거울에서는 무조건 100% 반사한다. B에서 반사된 것은 반투명막 S2를 만나게 되는데, 직진해서 C로 가는 것과 반사돼서 D로 가는 것이 있다.
C로 가는 것.
S2에서 C로 직진해서 가는 것 : S1에서 반사된 U가 B에서 반사하고 S2에서 통과했기 때문에 S2에서 위상이 한번 바뀌었다.
S2에서 C로 반사해서 가는 것 : S1에서 직진하면서 위상변화가 한번 바뀐 것이 V, V가 A를 지날 때는 위상이 안바뀌고, S2에서 반사하면서는 위상이 안바뀐다. 결과적으로 S1에서 한번만 위상이 바뀌어서 90도 바뀐 위상으로 C로 들어간다.
—> B에서 오는 것과 A에서 오는 것 둘 다 위상이 한번 바뀌어서 90도 바뀌었으니까 위상이 서로 같다. 그래서 둘이 만나면 빛이 들어온다.
D로 가는 것.
S2에서 D로 반사해서 가는 것 : S1에서 반사된 U가 B에서 반사되고 S2에서 반사되므로, 위상변화가 한번도 없다.
S2에서 D로 직진해서 가는 것 : S1에서 직진하는 V는 위상변화 한번 일어났고, A에서는 반사되고, S2에서 직진하면서 위상변화 한번 더 일어난다. 결과적으로 180도 위상변화가 일어난다. 위상이 180도 바뀌면 높은 것이 낮은 것과 같아지게 된다. 그래서 두 개가 만나면 완전히 상쇄된다.
—> 그래서 D에서는 빛이 나지 않는다.
이게 아주 유명한 간섭계이다. 이런 장치를 기본으로 한 다음, S1과 A 사이에 (작은)폭탄을 하나 설치하는 경우를 보자.
이 폭탄은 여기서 빛을 만나면 무조건 폭발하게 되어 있다. 만나지 않으면 그대로 있고, 만나면 폭발하는 폭탄만 하나 갖다놨다.
만약에 L에서 나온 빛이 폭탄을 만날 경우에는 이 실험은 종결된다. 장치가 다 파괴될 정도는 아니고 폭탄만 없어질 정도.안만나서 이 폭탄이 멀쩡할 경우. 그러면 빛이 여기 안왔다는 뜻이고, S1에서 반사돼서 B로 갔다는 얘기이다.
폭탄이 멀쩡하다는 얘기는 L에서 나온 빛과 폭탄이 아무 상호작용을 안했다는 뜻이다. 상호작용했으면 폭발했을테니까.상호작용 안했는데, 그러면 결과는 어떠냐? D에 빛이 들어온다. 폭탄만 갖다놨는데, 폭탄과 빛은 아무 상호작용도 없었는데 D에 빛이 들어온다. 어떻게 해석을 해야하나, 이상하다 그래서 상호작용이 없는 변화 이렇게 본다.
그렇지만 우리 원리로 이해하면 아주 간단하다. 폭탄을 갖다놨는데 폭탄에 아무 변화가 없으면 L에서 나온 빛은 폭탄 쪽으로 온 성분이 없었다는 얘기다. 즉 확률 1로 B쪽으로 갔다는 말이다. B쪽으로 간 것은 한번도 위상변화 없이 D로 간다. 빛이 들어간다.
폭탄쪽으로 가서 폭발이 일어났다면 B로 안갔다는 얘기. 그래서 폭탄이 있었는데 멀쩡히 그대로 있으면 D에 빛이 안들어와야 할텐데 빛이 들어온다. 이걸 어떻게 해석할 것인가?
- Q5-1. ’상호작용-결여’ 측정의 해석?
이걸 가지고 이상하다고 야단들인데, 우리 이론으로 하면 아주 간단하다. 폭탄에서 빈사건이 일어난 것이다. 폭탄으로 갈 확률이 없어지고 확률 1로 B와 S2에서 반사되어서 D로 들어가는 것이다. 그러니까 얼핏 보면 대단히 이상해보이지만 우리 해석방법에 의하면 이상할 게 없다.
<질문> D에서 빛이 들어오는 게 이해가 안된다.S1에서 일단 확률 2분의 1로 갈라진다. 폭탄 터질 확률이 2분의 1로 터지고 2분의 1로 안터진다는 얘기다. 그러니까 두 번 중에 한번은 터지고 한번은 안터진다. 그러면 안터졌을 때는 그 순간 여기서(폭탄) 빈사건이 일어나기 때문에 U로 갈 확률이 1로 바뀐다. 그래서 확률로 1로 D로 가는 것이다. 실험이 그렇게 나온다.
U로 가는 것은 위상이 하나도 안바뀌고, 반대쪽 V에서 오는 것은 없으니까 U로 간 것이 혼자 D로 가서 빛이 나는 것이다. 다시 만나서 소멸될 것도 없다. 폭탄에서 빈사건이 발생하면 그냥 혼자서 U로 가는 것이다.
S2에서는 C와 D로 또 반반씩 간다. 빛은 C와 D에 다 들어온다.
<질문> D에 빛이 들어오는 게 왜 신기한 현상인지 잘 모르겠다.
폭탄이 없을 때는 D에 빛이 안들어왔다. 그런데 폭탄을 놓았을 경우, L에서 나온 빛과 폭탄이 아무 상호작용도 하지 않았는데 D에 빛이 들어오는 것이다.
<질문> 첫번째 반투막 이후에 폭탄을 놨는데 왜 영향을 받는가하는 게 문제인 것인가?
폭탄이 없으면 D에 빛이 안들어온다. 그런데 폭탄을 놓을 경우, 빛과 폭탄의 상호작용이 없는데도 불구하고 D의 결과에 영향을 주었다는 것이 중요하다. 그래서 ‘상호작용이 결여’된 결과라고 하는 것이다.
<질문> 이 실험이 일상적인 스케일에서도 같은 결과가 나오나?
양자역학에 적용되는 범위 내에서 성립한다. 아까 실험(이중슬릿)과 같다. 이중슬릿 둘 중 하나에 변별체(여기서는 폭탄)를 놓았을 때 변별체를 통과하지 않았다는 것이 확인되면 나머지 하나(U)만 남는다는 것이다. 그런데 이렇게 해놓으니까, 폭탄과 만나지 않았고 빛은 아무 상호작용을 하지 않았는데도 결과에 영향을 미친다하는 것이다. 이중슬릿 실험에서도 변별체를 갖다놓기만 해도, 변별체에 아무 흔적을 남기지 않았는데도 결과가 달라졌다. 바로 그것과 같은 것이다.
- Q5-2. 변별체가 일으키는 상태 전환이 두 번째 변화의 원리?
<질문> 그러면 변별체가 있을 때 상태전환이 일어나는 것은 무엇으로 서술하나?
아까 본 변화의 원리에 보면 두 줄 있다. 위는 슈뢰딩거 방정식이고 이것은 변별자가 없을 때를 말하는 것이고.변별자가 있을 때는 변별자의 영향을 달리 서술해준다. (아래 식에서 두 번째 줄)
<질문> 그러면 변화의 원리 두 개를 놓고 경우에 따라서 이걸 적용하거나 저걸 적용하거나… (그렇다). 그러니까 229쪽 ‘사건의 유발과 측정의 문제’를 보면, 존재물의 상태가 무엇이고 가능한 상태들이 어떤 건지 살펴봤는데, 그것이 외부대상 즉 변별체에 어떤 영향을 주고 받는지에 대해서 논의하는 것이 사건유발과 측정 이야기이다. (그렇다)
사건 유발이라는 것이 고전역학에서는 없었다. 고전역학에서는 있을 수 없는 이유가, 거기서는 성향이 1아니면 0밖에 없기 때문에. 그런데 양자역학에서는 성향이 0~1까지 연속적으로 변하니까. 변별체를 만날 경우에는 무조건 성향이 0아니면 1로 점프한다, 그 순간에는.
그 점프는 성향이 연속인데 변별체와 일으키는 사건은 1아니면 0으로 가니까 그것이 그 변화를 받게 되는 것이다. 처음부터 1, 0이면 변별체가 있으나마나 하니까 고전역학에서는 안나오는 얘기다. 양자역학에서는 성향이고, 변별체와 만나야 사건이 일어난다. 사건은 있거나 없거나 둘 중 하나이다.
- 사건을 일으켰느냐 안 일으켰느냐에 따라서 성향이 달라진다
사건을 일으켰느냐 아니냐에 따라서 성향이 달라진다. 그 이유때문에 둘째 줄이 필요한 것이다.이 모든 것을 공리 형태로 정리를 해서 요약해서 보면 이해가 된다.
- Q6. 공간개념의 변화?
공간개념이 변한다는 것은 흥미로운 얘기다. 이론이 심화된다고 볼 수 있다. 고전역학에서… 사실 일상적인 관념 예를 들어 여헌의 생각, 완전히 일상적인 개념인데 고전역학이 의미 있게 정리될 때 3차원 개념이 분명해졌다.
아래와 위가 같다는 3차원 개념, 그리고 시간 개념은 여전히 독립적으로 있다. 그래서 3차원 개념이 두 세트 있다. 하나는 위치와 시간, 하나는 운동량과 에너지. 그래서 두 개의 3차원이 있다. 위치-공간, 운동량-에너지 공간, 이것을 바탕개념으로 깔고 서술하는 것이 고전역학이다.
상대성이론은 이 둘(위치와 시간, 운동량과 에너지)이 근본적으로 차이가 없다, 각각 4차원으로 해서 시간-공간 4차원, 운동량-에너지 공간 4차원. 시간에 대응하는 것이 에너지, 위치에 대응하는 것이 운동량. 각각 대응하기는 하지만 병행하게 두 개의 독립적인 공간이 있는 것이다.
이쪽에 어떤 변화가 생긴다고 해서 다른 쪽에 영향을 주는 것이 아니다. 위치를 측정한다고 해서 운동량이 달라지는 것이 아니고, 독립적으로 있다. 이런 식으로 있다는 것을 전제로 한다.
양자역학에서는 시공간 4차원과 운동량-에너지 공간 4차원이 관계가 있다는 것이다. 그래서 이것이 하나의 4차원 공간이 결합이 되어서 복합 4차원 공간이 돼버린다. 그래서 시공간4차원과 이것의 역(맞)시공간 4차원은 별개의 공간이 아니라 (x, y, z, ict)의 역수에 해당하는 공간이 ħ(k1,k2,k3,iω/c)이다.
x-k1, y-k2, z-k3, ict-iω/c. 서로 역관계가 있다. 과거에는 독립적이라고 생각했던 것들이 양자역학에서 다시 보니, 시-공간 차원과 운동량-에너지 차원이 서로 역공간이었다.
시공간 차원의 항(예. x)과 운동량-에너지 차원의 항(예. k)을 서로 곱하면 단위가 상쇄돼서 순수한 숫자로만 된다. 그 숫자 (kx-ωt)는 지수함수로 들어간다. 이렇게. exp[i (kx-ωt)] ≡ cos(kx-ωt) + i sin(kx-ωt)
지수함수는 삼각함수의 연장이니까, 삼각함수도 마찬가지로 θ자리에 단위가 없는 숫자만 들어갈 수 있다. x가 거리의 단위라면 k는 거리의 역수 단위(1/거리)가 된다.
- Q6-1. 푸리에 변환?
역공간을 수학적으로 정확하게 표현하려면 푸리에 변환을 써야 한다. 삼각함수 θ 자리에 kx-ωt이 들어간다. 여기서 x만 들어가면 안된다. x에는 단위가 있기 때문에. 삼각함수 안에 단위가 있는 것이 들어가면 안된다.
x가 미터 단위이면 k는 미터의 역수 단위(1/미터)가 돼야 한다. 이게 원래 라디안(radian) 단위이기 때문에. 라디안은 단위가 없고 실수이다. 코사인 안에 순수한 숫자가 들어가야 하기 때문에 x의 역수 단위인 k와, t의 역수 단위인 ω가 들어간다.
그런데, 코산인함수에서 시간과 위치의 함수이지만 단위를 없애주기 위해서 k와 ω가 들어갔다. 이 그림에서는 x와 t의 함수이지만, 이걸 k와 ω의 함수로도 볼 수 있다. k와 ω를 변수로 보고 x와 t를 파라미터로 봐도 된다. 즉 kx-ωt는 x, t의 함수이기도 하고 k, ω의 함수로 봐도 된다. 서로 대등한 역할을 한다.
그런데 지수함수 exp[i(kx-ωt)]는, 바로 [cos(kx-ωt) + i sin(kx-ωt]를 의미한다.
exp[i (kx-ωt)] ≡ cos(kx-ωt) + i sin(kx-ωt)
그러니까 여기서 θ도 순수한 숫자만 들어갈 수 있다. 그러면 이 지수함수가 위치의 함수라면 θ 자리에 위치와 위치의 역변수를 곱한 것이 들어갈 수 밖에 없다.
그래서 여기서도 위치나 시간의 함수로 표현한다고 하면, θ 자리에 들어가는 kx-ωt처럼 x와 t에 k와 ω를 곱해서 단위를 없애주어야 한다. 삼각함수나 지수함수로 써줄 때는 반드시 k와 ω를 넣어주어야 한다.
그런데 x, t와 k, ω가 항상 대등한 역할을 한다. 어느 것이 더 기본이고 기본 아닌 게 아니라, 우리가 정하기 나름이다.
오일러 등식은 이렇다 하는 것을 알면 된다. 실수부는 코사인함수, 허수부는 사인함수이고, 좌변과 우변이 이렇게 같다하는 관계를 알면 된다. 자세한 정의는 부록에 있다. 아주 중요한 함수이기 때문에 잘 공부할 필요가 있다.
여기까지 아는 것이 아주 중요하다.
파동의 중첩
파동이 같은 것끼리 중첩해서 위상이 같으면 증폭이 되고, 위상이 다르면 상쇄된다.
ω값이 서로 다른 것들 여러 개를 중첩시키면(C) 무슨 모양이든지 다 만들어낼 수 있다. 그러니까 서로 다른 파동에 각각의 세기를 변수로 주고 위상을 적절히 결합하면 모든 함수가 이걸로 나온다.
임의의 공간의 함수가 전부 이런 파동의 결합인데, 각각의 앞에 결합 상수만 달리하면 모든 것이 다 만들어질 수 있다. 이게 바로 푸리에 전환의 기본 정신이다.
- Q6-2. 맞공간?
이 식에서 적분으로 표시를 해놨는데, 이것은 exp[i(kx-ωt)] 여러 개를 합한 것이라는 뜻이다. dk, dω 이렇게 연속적으로 적분하기는 했지만, 의미가 그렇다는 것이다.
이런 여러 개의 exp[i(kx-ωt)]에 대한 각각의 계수 Φ(k,ω)의 곱. 여기서 exp[i(kx-ωt)]를 x와 t의 함수로 봤기 때문에, 여기에 Φ(k,ω)를 곱해줬다는 것의 의미는: exp[i(kx-ωt)]에서 k와 ω 성분에 해당하는 상대적인 크기가 얼마냐 하는 걸 나타내주는 것이 Φ(k,ω)이다.
그래서 Ψ(x,t)는 x와 t의 임의의 함수, 어떤 모양도 규정하지 않은 임의의 함수이다. 그 함수는 exp[i(kx-ωt)]과 Φ(k,ω)의 결합으로 나타난다. 그리고 앞에 상수 Φ(k,ω)만 다르고, 모든 가능한 k와 ω에 대해서 적분하면(dk, dω) 어떤 함수든지간에 Ψ(x,t)처럼 표시할 수 있다.
그런데 재밌는 사실은, Φ(k,ω)도 k와 ω의 연속함수이다. 그래서 두 번째 식처럼 Φ(k,ω)을 Ψ(x,t)로 나타낼 수가 있다. 이렇게 만들 수 있다는 것은 증명이 된다.
Ψ(x,t)과 Φ(k,ω)은 같은 자격을 가지고 있다.
Ψ(x,t)의 경우를 보자. x와 t의 함수 Ψ(x, t)는, 이 함수가 어떤 것인지는 모른채 단지 모든 exp[i(kx-ωt)]과 그것의 계수 Φ(k,ω)의 세트만 알고 있고 이 둘을 결합하면 Ψ(x, t)이 나오는 것이다.
<질문> Ψ(x, t) 상태함수 식에서 Φ(k,ω)는 상수인가? 상수인데 k와 ω가 왜 들어가 있나?
여기서는 상수 노릇을 한다. 그런데 모든 k에 대해서 Φ(k,ω) 값이 다 정해져있다. exp[i(kx-ωt)]에서는 k와 ω가 파라미터로 들어가 있는데, 모든 파라미터에 대해서 Φ(k,ω) (계산한 것)를 합치니까 k, ω에 대한 함수 Φ(k,ω)가 돼버린 것이다.
한편 두 번째 줄에서 함수 Φ(k,ω)는 반대로 k와 ω의 함수이다. exp[-i(kx-ωt)]에서 x와 t를 파라미터로 놓고 각 파라미터의 계수 Ψ(x, t)를 결합하면 Φ(k,ω)이 나온다.
이 두 함수 Ψ(x, t)와 Φ(k,ω)가 완전히 대등한 역할을 한다. 그래서 exp[i(kx-ωt)]를 매개로 해서 두 세트, 즉 (x, t)와 (k, ω)라는 공간이 형성된다. (x, t)은 위치와 시간 공간이고 (k, ω)는 위치와 시간의 역공간, 상반공간 혹은 맞공간(reciprocal space)이라고 부른다.
그래서 이런 것을 푸리에 변환이라고 한다. 푸리에 변환식은 아주 일반적 것으로, 양자역학과는 아무 관계가 없다. 푸리에 변환은 어떤 함수 Ψ(x, t)도 계수 Φ(k,ω)를 적절히 넣어주고 함수 exp[i(kx-ωt)]로 전개하면 다 재현할 수 있다는 것이다.
그런데 Φ(k,ω)은 동시에 반대로, Ψ(x, t)을 계수로 삼고 앞의 exp[i(kx-ωt)] 함수와 부호만 하나 다른 exp[-i(kx-ωt)]로 전개하면 다 표현할 수 있다.
이 두 함수는 완전히 대등하다. Φ(k,ω)를 알면 Ψ(x, t)를 아는 것이나 마찬가지이다. 또 마찬가지로 Ψ(x, t)를 알면 Φ(k,ω)를 아는 것이나 마찬가지이다.
<질문> 그리니까 저 식들이 성립할 수 있게 이렇게 이렇게 하면 어떤 것이든지 우리가 만들 수 있다는 것이 저 식의 의미인가?
그렇다. 이런 재미난 것이다. 19세기인지 푸리에라는 사람이 만들었고 다 알려져있던 것이다.
그런데 재밌는 사실은, Φ(k,ω)에서 보듯이 또 하나의 공간이 생겼다는 것이다. 위치와 시간 공간 (x, t)라는 것이 있는데, 저절로 (k,ω) 공간이 발생한 것이다, 이 관계식때문에. k와 ω라는 파라미터 공간이 생겼다. 파라미터가 연속적인 값이니까 그 파라미터가 공간을 이루는 것이다.
그러니까 Ψ(x, t)를 알고 있고 푸리에 변환만 알면 여분의 공간 Φ(k,ω)이 따라나오는 것이다. 서로 관계가 푸리에 변환으로 밀접하게 엮어진다. 그런데 (k,ω) 공간은 여분으로 있는 것이라고밖에 볼 수가 없다, 수학적으로는.
그런데 자연의 조물주가 기가막히게 요술을 부렸다는 것이다. 이 (k,ω) 공간이 바로 운동량-에너지 공간이 되도록 만들어 놨다. 조금 전에 얘기했듯이, 운동량-에너지 공간은 위치-시간 공간과 완전히 독립적으로 있는 것으로 생각해왔는데, 다시 보니 운동량-에너지 공간이 독립적인 것이 아니라 위치-시간 공간의 맞공간이라는 것이다.
<질문> 독립되지 않다는 것은 서로 값에 영향을 주고받는다는 의미인가?
그렇다. 그전까지는 위치와 시간이 얼마다 하는 것과 운동량과 에너지가 얼마다하는 것이 완전히 독립적으로 있었다. 그런데 이런 관계를 만족하게 되면, 특정한 k와 ω가 특정한 x, t와 밀접한 관계를 맺게 된다는 것이다. 하나의 공간의 다른 측면이기 때문이다. 같은 것은 아니고, 서로 역관계이다.
위치-시간 공간에서 뾰족한 모양을 나타내는 함수가 있다고 해보면, 이것이 운동량-에너지 공간으로 가면 평평하게 값이 퍼진다. 즉 모든 k, ω에 대해서 비슷한 값으로 퍼진다. 그리고 (x, t) 공간에서 넓게 퍼지는 모양이라면 (k,ω) 공간으로 가면 특별한 데서 뾰족한 모양이 된다.
모든 성격이 서로 역관계로 맺어진다. 운동량과 에너지는 위치와 시간에 대해서 그러한 관계를 맺는다는 것이다.
<질문> 그런 위치에 대한 함수를 알면 운동량에 대한 함수를 저절로 알게 되나?
그렇다! 둘을 동시에 측정할 필요도 없고 동시에 측정할 수도 없다. 왜냐하면 하나가 결정되면 나머지 하나도 결정되기 때문이다. 그것이 하이젠베르크의 불확정성 원리이다.
<질문> 그러면 불확정성으로 더 모르게 된 것이 아니라…(더 알게 된 것이다) 더 알게 된 것인가?
그렇다. 그러니까 위치 하나만 정확하게 알면 운동량은 알게 된다. 우리는 둘을 동시에 측정할 필요가 없다. 기술적으로 어려워서 동시에 측정 못하는 게 아니라, 하나 알면 나머지는 수학적으로 다 나오는 것이다.
(구할 수 없다는 게 아니라) 하나를 알면 나머지는 저절로 알아진다. 단, 하나가 특별한 t 값에서 위치 x 값이 높고 나머지 t에서는 다 0 나오는 경우라면, 이것은 여러가지 것이 다 섞인 것밖에 없다는 뜻이다. 운동량은 모든 운동량 값에 대해서 그 값을 가질 확률이 비슷하게 나온다. 그것을 소위 불확정성 원리라고 하는데, 위치를 정확하게 측정하려면 운동량은 잘 모른다는 얘기가 바로 그 얘기이다.
운동량을 정확하게 측정하게 되면 그 반대로 위치-시간 공간에서 여러가지 값을 가지는 것으로 나온다. 모르겠다는 것이 아니라, 바로 그것이 ‘정확하게 아는 것’이다.
즉 위치를 알면 운동량은 저절로 아는데, 위치가 뾰족하게 될 경우 운동량은 여러가지가 결합이 돼있다는 것이다. 말하자면 운동량 야기 성향은 널리 퍼진다.
반대로 대상의 운동량 야기 성향이 뾰족하면 위치 야기 성향은 퍼진다. 둘을 동시에 측정하기 어려운 것이 아니라 할 필요가 없다. 이미 아는 것이니까. 그래서 (자연의 조물주가) 이러한 묘한 장난을 해놨다.
그래서 이제 공간 구조를 보자.
고전역학의 경우 독립된 공간이 4 개이다. 즉 공간 3차원과 시간 1차원, 운동량 공간 3차원과 에너지 공간 1차원.상대성이론의 경우에는 둘이 독립이다. 즉 시공간 4차원과 운동량-에너지 공간 4차원. 즉 독립된 것 둘로 엮었다.양자역학은 하나로 엮었다. 즉 복합 4차원. 단 여기에 상수 ħ가 하나 붙어있다. 우리가 알고 있던 운동량, 에너지와 k, ω는 이 상수 ħ를 곱한 것만큼 차이가 있다.
이 상수가 왜 들어왔겠나?상대성이론을 생각해보자. c라는 상수가 왜 들어왔나? 시간과 위치가 같은 것인데, 그것을 몰랐기 때문에 시간 단위를 따로 정했다. 그래서 그것을 맞추기 위해서 c를 넣어야 했다.
운동량과 에너지가 k, ω와 이런 관계가 있는데도 우리가 몰랐기 때문에, 따로 운동량 공간을 설정해서 단위를 정해버렸던 것이다. 그 단위와 k, ω 단위를 맞추려니까 ħ만큼의 교정이 필요하게 된 것이다.
<질문> 운동량-에너지 공간으로 바꾸는 상수?
k와 ω의 단위는 이미 정해져 있다. x가 위치라면 k는 위치의 역수 단위. 미터라면 1/미터로 정해져 있다. x와 k를 곱하면 단위가 없어지는 그런 구조다. 그런데 운동량을 독립된 것으로 봐서 운동량 단위를 정해줘버렸다. 그러니까 운동량과 단위를 맞추려고 보니 k에 ħ를 곱해야 p와 같아지게 된 것이다.
그래서 E = ħω라는 것이 바로 플랑크가 제일 먼저 가정한 사실이다. 에너지가 왜 ħ에 ω를 곱한 것으로 나오느냐, 이상하다! 바로 그것이 에너지인데, 그걸 찾아놓고도 모르고 이상하다고 생각한 것이다.
운동량도 마찬가지이다. ħ에 k를 곱한 것이 바로 운동량이다. 단지 우리가 몰랐기 때문에 사후에 ħ를 곱해줘야하게 된 것이다. 알고 나니까 ħ나 c같은 상수가 필요없어지게 된 것이다. 사실 c를 여기에 써놨지만 사실 안써야한다(?).
그렇게 이 시간-공간의 구조가 단순하게 연결된다. 이게 굉장히 재밌는 것이다. 그래서 양자역학으로 오면 시간-공간-운동량-에너지가 전부 하나의 물리량으로 엮어진다, 구조적으로.
- Q6-3. 양자역학의 기본 개념 두 가지?
그러니까 양자역학의 기본 개념은 두 가지이다.
- 시-공간과 운동량-에너지 공간이 복합 4차원을 이룬다
- 존재물은 위치나 운동량을 ‘점유’하는 것이 아니라 그러한 것에 해당하는 사건을 일으킬 ‘성향’을 가진다
하나는 시간-공간과 운동량-에너지 공간의 구조가 복합4차원을 이룬다는 것이다.
두 번째는 어떤 대상이 위치나 운동량을 점유하는 게 아니라, 그러한 것에 해당하는 사건을 일으킬 성향을 가졌다하는 것으로 개념을 확장하는 것이다. 과거에는 대상의 위치와 운동량을 상태라고 봤는데.
이번에는 위치와 시간의 함수를 상태로 본다는 의미다. 다시 말해서 성향이니까, 성향은 값으로 정할 수가 없고 그 성향에 해당하는 함수로밖에 표현할 수 없다.
이 두 가지가 핵심 개념이다. 이 두 가지만 딱 연결하면 거기서 양자역학이 다 쏟아져 나온다.
- Q6-4. 이제 위치와 운동량은 상태가 아니라 상태함수의 해석 결과가 되나?
<질문> 그렇게 되면 위치와 운동량의 자리는 애초에 상태에 있던 것이었는데, 지금은 상태함수에 의한 해석 결과인가?
푸리에 변환을 다시 보자. 거기에 또 재밌는 게 나온다.
Ψ(x, t)는 시각 t에 위치 x에서 사건을 야기시킬 성향을 나타낸다. 그리고 Ψ(x, t)의 절대치 제곱, 즉 |Ψ(x, t)|2을 하면 확률이 된다.
그런데 Φ(k,ω)은 뭐냐? 바로 Ψ(x, t)와 똑같은 자격을 가지고 있다. 운동량과 에너지 공간에서, 운동량 k와 에너지 ω에 해당하는 사건을 야기시킬 성향이 Φ(k, ω)이다.
그러니까 Ψ(x, t)를 알면 Φ(k,ω)이 저절로 나오니까 알 수 있기 때문에, Φ(k,ω)를 독립적으로 알아낼 필요가 없다. Φ(k,ω)를 알면 또 Ψ(x, t)를 알 수 있고, 둘 중의 하나만 알면 나머지는 저절로 알게 된다.
그런데 이렇게 함수 Ψ(x, t)로 표시했을 때는 위치 t와 시간 x에 사건을 야기할 성향을 나타내는 것이고, 함수 Φ(k,ω)로 표시했을 때는 운동량 k와 에너지 ω에서 사건을 야기할 성향을 나타낸다.
그래서 이제 그걸 다시 바꿔보면, |Φ(k,ω)|2은 운동량 k를 가지게 될 확률, 즉 사건을 일으킬 확률을 말한다. 이 속에 다 들어있는 것이다.
그리고 기대치라고 하는 것이 나온다. 확률이 나오면 기대치는 쉽게 계산을 할 수 있다.
여기서 ‘표출 확률’은 ‘사건 야기 성향’을 확률로 나타낸 것을 말한다.
<Ψ|x|Ψ>은 확률 <Ψ|Ψ>에 x를 곱한 것의 결합(우변의 적분식)이 바로 x값의 기대치이다. Ψ를 알면 x의 기대치를 알 수 있다. 그러니까 확률이기때문에 여러가지 다른 것들이 있을 수 있는데, 제일 있음직한 것이 제일 크고 나머지는 작다.
< Φ|k|Φ>를 보자. 운동량의 기대치는 바로 |Φ(k,ω)|2이다. 푸리에 변환을 하면 Ψ와 Φ가 대등하다.
동시에 Φ를 안쓰고 계속해서 Ψ 이 표현을 쓰고 싶다고 할 경우, 연산자를 사용하는 방법이 있다. k에 해당하는 항으로, 즉 x에 대한 미분에 해당하는 형태로 바꾸면 되는데, 그걸 k와 ω에 대응하는 연산자라고 부른다.(책 pp.536~538)
- Q7. 양자역학의 새 공리 체계?
지금까지 얘기한 것을 공리로 요약해서 얘기해보자.
공리 1.
기대치가 이렇게 된다는 얘기는 Ψ(x,t)의 절대치 제곱이 확률이 된다는 얘기와 같은 말이다. 기대치는 원래 x가 일어날 확률을 곱한 것의 합이 기대치니까. 그래서 Ψ와 Ψ*의 곱이 확률이다하는 것과 마찬가지이다. 이것을 공리 1로 삼는다.
공리 2.
그리고 Ψ의 푸리에 변환을 하면, 맞-공간 (k, ω)은 운동량-에너지 공간이며 기대치는 위의 식과 같다.
그리고 여기서 시간의 기대치는 굳이 안썼는데. 시간의 기대치는 써도 되지만, 시간은 별개의 파라미터로 보기 때문에 별로 활용하지 않는다. 그래서 이것을 공리 2라고 했다.
공리 3
고전역학이 별게 아니고, 기대치들 사이의 관계식을 보면 그게 곧 고전역학이다. 고전역학이 독립적으로 있는 게 아니라는 것이다.
공리 4.
앞에서 이미 얘기했는데 다시 한번 정리하면, 어떤 존재물의 상태를 아래와 같이 표시할 수 있다.
Ψi는 바로 그 값을 확률 1로 나타내게 될 상태함수라고 하는데, 고유함수라고도 한다. i는 i번째 위치에 변별체를 놓으면 확률이 무조건 1로 사건이 발생하는 그런 성격이다. 일반적으로, 그것에 계수 Ci를 붙여서 모든 i에 대해서 결합한 것이 Ψ(x)와 같은 것이라는 말이다. Ψ(x)함수라고 쓴 것을 위의 식처럼 고쳐쓸 수가 있다.
i 각각이 다른 x값이다. 이렇게 했을 때 확률 Ci의 절대치의 제곱은 x가 i일 때의 확률이다. ∑Ψi 자체는 1인데 Ci는 1보다 작다. 모든 i에 대해서 합하면 1이 된다는 것은, 어딘가에는 있다는 뜻이다.
x의 함수로서 어떤 상태에 대해서도 위의 식처럼 쓸 수 있다. x가 이런 상태에 놓여있다고 할 때, 지점 j에 사건 유발 능력을 지닌 외부 물체(변별체)를 설치하고 대상과 접촉시킬 경우, 위 공리 4에서 보는 바와 같이 (1) 혹은 (2)로 전환된다.
앞에서 여러번 써먹었던 것이 바로 이 공리 4이다. 이 공리만 제대로 써먹으면 양자역학의 모든 문제가 해결된다. 그래서 이 공리를 써서 아까 우리가 해석한 것이 이중슬릿, 상호작용-결여 측정 실험이다. 이 공리만 정직하게 적용하면 다 이해가 된다.
그런데 이렇게 쓴 교과서가 없다, 내가 알기로는. 이 문제에 대해서 굉장히 많은 혼란이 있다. 이 공리 4는 우리 책에만 특별히 다루고 있는 내용이다. 사실 공리 2도 다른 데서 공리로 놓지 않는다. 푸리에 변환도 그렇다. 시간-공간을 하나의 4차원으로 공리를 설정한 것은 내 책이 처음이다. 다른 책에서는 찾을 수가 없다. 양자역학에서 굉장히 중요한 것이 공리 2와 4이고, 이 책의 특성이다.
- Q7-1. 양자역학의 새 공리 체계와 하이젠베르크 불확정성 원리
이 공리를 쓰면 하이젠베르크의 불활적성 원리가 금방 이해가 된다.아래에서 보는 바와 같이 역공간, 맞공간의 관계가 이렇게 된다는 것을 수학적으로 간단히 증명할 수 있다. 각자 해보고 싶은 사람은 해보면 된다.
아까도 말했지만, 한 쪽 함수에서 피크로 나타나면 다른 쪽 함수에서 퍼지는 것으로 나타난다. x가 얼마나 퍼졌는가(∆x), p가 얼마나 퍼졌는가(∆p)의 한계가 이 부등식을 만족해야한다는 것이, 하이젠베르크가 발견한 부등식이다.
그런데 이것은 바로 역공간이라고 하는 것, 운동량 공간과 위치 공간이 서로 맞공간을 이룬다는 가정을 하면 수학적으로 바로 나온다.
<질문> 그런데 저기서 I(α)는 무엇인가? 처음부터 결론을 알고 가정한 것인가?
이 부등식을 증명하기 위해서 사용하는 트릭이다. 물리적인 의미가 하나도 없다. 이렇게 정의하자는 것일 뿐이다. 논리다. 결국은 결과(부등식)을 모르고 앞의 가정을 어떻게 구상했느냐 물을 수가 있는데, 항상 수학적인 증명은 다 그렇다. 구상을 잘 하면 증명이 된다. 논리적으로만 맞으면 되고, 무엇이 먼저고 나중인가는 중요하지 않다. 전제를 어떻게 하느냐에 따라서 달라지는 그런 식이다.
<질문> 사실 우리같은 사람들은 상대성이론이 먼저냐 양자역학이 먼저냐 통계역학이 먼저냐 이런 것도 궁금하고 좀 신경이 쓰인다.
역사적으로는 다 얽혀서 나오는 것이다. 지금 우리는 그 역사적으로 얽힌 것을 머리 속에 다 넣으면 복잡하니까, 논리적으로 깔끔하게 정리하는 것이 중요하다.
(대담영상 5-4 녹취 끝.)
녹취, 요약: 황승미 (녹색아카데미)
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