일반상대성이론 100+4년 – 제4회.드디어 일반상대성이론이 만들어지다

2015년, 아인슈타인의 일반상대성이론이 100세가 되었다. 특수상대성이론이 100세가 된 것은 10년 앞선 2005년이다. 일반상대성이론은 과학이론의 본성이 무엇인지 잘 드러내 주는 좋은 사례이기도 하고, 시간과 공간과 우주와 물질에 대한 가장 근본적인 이론이면서도 동시에 실증적으로 권위를 인정받은 이론이기도 하다.

그만큼 역사적인 맥락이 풍부하며, 또한 문화적 영향도 다양하다. 무엇보다도 시간과 공간에 대한 철학적 논의에서 중요한 역할을 해 왔다. 녹색아카데미 과학칼럼에서는 일반상대성이론이 만들어지고 다듬어지는 역사적, 철학적 과정을 9회에 걸쳐 살펴본다.

2019년 9월 3일
글 : 김재영 (녹색아카데미)

  1. 뉴턴이여, 나를 용서하시길! (8/13)
  2. 절대공간은 존재할까? (8/20)
  3. 아인슈타인과 가우스와 비유클리드 기하학 (8/27)
  4. 드디어 일반상대성이론이 만들어지다 (9/3)
  5. 일반상대성이론을 푼다는 것 (9/10)
  6. 일반상대성이론의 수용, 오해, 해석 (9/17)
  7. 르메트르와 앨퍼 : 허블과 가모프에 가려진 우주론자들 (9/24)
  8. SF와 상대성이론 (10/1)
  9. 우리의 소원은 통일이론 (10/8)

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1915년 11월 25일 프러시아 과학학술원 물리학-수학 분과에서 “중력장 방정식”이라는 제목의 논문이 발표되었고, 1916년 3월 20일에 “일반상대성이론의 기초”라는 제목의 논문이 「물리학 연보」에 접수되었다. 저자는 다름 아니라 아인슈타인이었다. 중력과 우주의 모든 것을 말해 주는 가장 근본적인 이론인 일반상대성이론은 어떤 경로를 거치면서 만들어졌을까?

1916년 아인슈타인은 일반상대성이론이 탄생하기까지의 주요한 세 가지 계기를 다음과 같이 말했다. 

(1) 1907년 일반상대성이론의 기초 개념
(2) 1912년 거리함수의 비유클리드적인 성질과 이를 중력에 의해 물리적으로 결정하는 것을 인식함
(3) 1915년 중력장방정식. 수성의 근일점 이동에 대한 설명

[그림 1] 1979년 스위스 기념 주화. 우주상수가 0일 때 아인슈타인의 진공 장 방정식이 새겨져 있다. (사진 : 위키피디아)

1907년에 아인슈타인은 「방사성 및 전자학 연보」라는 학술지의 편집장이었던 물리학자 슈타르크의 원고청탁을 받고 자신이 1905년에 제안했던 새로운 이론, 즉 나중에 ‘특수상대성이론’이라고 불리게 된 이론에 대한 해설논문을 준비하다가 불현듯 ‘평생의 가장 행복한 생각’을 떠올리는 행운을 얻었다.

그에 따르면 지붕에서 떨어지는 사람은 중력을 검출할 수 없다. 그렇다면 중력에 의한 효과와 관찰자가 속해 있는 좌표계의 가속에 의한 효과는 구별할 수 없으며 사실상 동등하다. 효과를 구별할 수 없다면 이 둘은 같은 것이라고 볼 수 있다. 이것이 소위 등가 원리이다.

[그림 2] 등가원리. 중력에 의한 효과와 가속에 의한 효과는 구별할 수 없으며 사실상 동등하다.
(사진 : Dpt. Of Physics and Astronomy, University Of South Carolina)

그러나 당시 아인슈타인은 이런 생각을 정확하게 표현할 수 있는 수학적 언어를 갖고 있지 못했다. 1912년에 비로소 중력장은 비유클리드 기하학인 4차원 리만기하학의 거리함수 텐서로 표현된다는 인식을 얻게 되었다.

하지만 중력장의 원천과 거리함수 텐서를 연결시키는 중력장 방정식의 최종형태를 유도하기까지는 아직 갈 길이 멀었다. 이 아름다운 이론의 탄생을 이해하기 위해 1915년까지 아인슈타인의 사고의 여정과 인생의 여정을 함께 살펴보기로 하자. 

“움직이는 물체의 전기역학에 관하여”라는 제목을 달고 있는 1905년의 아인슈타인의 논문은 처음에 그리 큰 반향을 얻지 못했다. 당시에 독일 물리학계의 태두였던 막스 플랑크가 이 논문을 크게 칭찬하자, 도대체 이런 논문을 쓴 이가 어떤 사람인지 궁금해 하는 몇몇 물리학자들이 베른 특허국을 찾아가 아인슈타인이라는 이름의 젊은이를 찾았다.

자유주의자 같은 옷차림의 젊은 특허국 심사관은 다소 헝클어진 머리카락을 쓸어 올리면서 이들을 맞았다. 이 젊은 재야 물리학자는 자신의 논문에 대한 어떤 질문에도 모두 답할 수 있을 만큼 자신감 있고 자기 주제에 대해 명료하게 이해하고 있었다. 

하지만 자신의 논문이 가져다 준 명성만으로는 따분하고 분주한 특허국 일을 그만둘 수는 없었기 때문에, 2년이 지난 뒤 아인슈타인은 드디어 베른 대학에 자신의 박사학위논문과 17편의 출판된 논문들과 이력서를 동봉하여 제출했다. 공부를 계속하기 위해서는 대학으로 가야 했던 것이다.

박사학위논문이 통과된 지 얼마 되지 않은 젊은 물리학자가 17편의 논문을 출판한다는 것은 결코 쉬운 일이 아니었고, 그만큼 아인슈타인의 능력은 독보적이었지만, 규칙은 규칙이었다. 교수직을 얻기 위해서는 어디에도 출판된 적이 없는 독창적인 내용을 담은 교수자격학위논문이 통과되어야 했다. 1908년 스물아홉 살의 아인슈타인은 드디어 교수자격학위를 따게 되었고 이제야 비로소 가르칠 수 있는 자격(venia docendi)을 얻었다.

학자로서의 아인슈타인의 경력은 베른 대학의 사강사로 시작되었다. 아직은 하루 종일 꼬박 특허국에서 일해야 하는 아인슈타인은 주말 이른 시간이나 평일 저녁 시간밖에 강의할 수 없었다. 열의 분자운동이론을 다루었던 첫 강의는 토요일과 일요일 아침 7시부터 8시까지였다. 수강자는 단 세 명이었고, 그 중 하나는 아인슈타인의 절친한 수학자 친구 미셸 베소였다. 그해 겨울학기의 둘째 강의는 매주 수요일 저녁 6시에서 7시까지 네 명의 수강자 앞에서 진행되었다.

그러던 중 취리히 대학에서 1867년 클라우지우스가 떠난 뒤 중단되었던 이론물리학 부교수 자리를 채울 사람을 채용하기 위한 공고가 났다. 아인슈타인이 여기에 지원을 한 것은 당연한 일이었다. 심사위원 중 한 명이었던 알프레트 클라이너의 추천사가 흥미롭다. 

“아인슈타인은 오늘날 가장 중요한 이론물리학자의 한 사람입니다. 특히 그의 비상하게 예리한 통찰력과 개념의 탐구능력과 명쾌함, 무엇보다도 매우 엄밀한 필치는 상대성원리에 관한 그의 연구를 통해 널리 인정되어 왔습니다.”

1909년 3월 취리히 대학의 비밀투표에서 아인슈타인은 취리히 대학의 이론물리학 부교수로 선출되었고, 그 해 7월 6일 특허국을 사임한 아인슈타인은 10월 15일부터 정식 대학교수로서의 삶을 시작했다.

1911년 3월 프라하의 칼 페르디난트 대학 정교수가 되기까지 취리히 대학에 있었던 2년 동안 아인슈타인은 17편의 논문을 발표했다. 이 논문들 중에 중력이론에 관한 것은 전혀 없었지만, 프라하로 옮겨간 뒤 아인슈타인은 중력에 관한 논문을 여러 편 발표했다.

그 중 “빛의 진행에 중력이 미치는 영향에 관하여”라는 제목의 논문에서, 태양의 중력 때문에 별빛이 휘어져 보일 수 있음을 계산하고, 그 편차를 0.83″(1″는 3600분의 1도)로 예측하기도 했다.(아인슈타인은 1915년에 이 값의 두 배인 1.6″가 올바른 값이라고 수정했다.)

[그림 3] 멀리 떨어진 은하의 빛이 앞쪽에 위치한 은하의 중력효과에 의해 어떤 영향을 받는지 보여주고 있다.
(사진 : ALMA (ESO/NRAO/NAOJ), L. Calcada (ESO), Y. Hezaveh et al. 한국아마추어천문학회)

1912년 가을 아인슈타인은 모교 취리히 연방공과대학(ETH)의 정교수가 되었다. 아인슈타인은 대학시절부터 오랜 친구였던 마르셀 그로스만과 함께 특수상대성이론을 일반화한 이론을 만들기 위한 본격적인 연구에 착수했다. 프라하에 있는 동안에도 아인슈타인은 새로운 중력이론을 향한 노력을 쉬지 않았지만, 그의 연구에 불을 붙인 것은 분명히 그로스만과의 공동연구였다.

1913년 아인슈타인과 그로스만의 공동논문이 출판되었다. “일반화된 상대성이론 및 중력 이론의 개요”라는 제목의 이 논문은 기존의 상대성이론을 일반화할 필요성과 방법을 다루고, 이를 다시 중력의 이론과 연결시키려는 전체적인 틀을 보여주는 매우 중요한 연구결과이다.

하지만 이 논문에서 제시된 중력장방정식은 애초의 의도와는 달리 일반공변이 아니었다. 제대로 된 중력이론이 되기 위해서는 선형변환만이 아니라 일반적인 어떤 좌표변환에 대해서도 중력장방정식이 똑같은 모습을 띠어야 한다. 이것이 일반공변이다. 아인슈타인과 그로스만은 일반공변인 중력장 방정식 대신에 선형변환에 대해서만 형식불변인 방정식을 제안했다.

아인슈타인-그로스만의 새로운 이론은 특수상대성이론보다는 더 일반적이었지만, 아직은 일반상대성이론이라 불릴 수는 없었다. 1913년 8월에 아인슈타인이 로렌츠에게 보낸 편지를 보면, 아인슈타인이 이런 타협에 대해 얼마나 불만족스러워 했는지 쉽게 짐작할 수 있다.

“이 이론에 대한 제 믿음은 여전히 흔들리고 있습니다. … 우리가 얻은 중력장 방정식은 일반좌표변환에 대한 공변성을 갖고 있지 않습니다. 단지 선형변환에 대한 공변성만 확인되었을 뿐입니다. 그렇지만 이 이론의 전체적인 믿음은 바로 좌표계의 가속이 중력장과 동등하다는 확신에 바탕을 두고 있습니다. 따라서 이론의 방정식들에서 선형변환 외의 다른 변환이 허용되지 않는다면, 이 이론은 바로 그 출발점과 모순을 일으키며, 그렇기 때문에 모든 것이 공중에 떠버린 셈입니다.”

이 무렵 아인슈타인은 자신의 새로운 생각들을 강의나 논문지도와 같은 귀찮은 업무에 시달리지 않으면서 자유롭게 전개할 수 있는 자리를 갈망하고 있었다. 1913년 봄에 막스 플랑크는 아인슈타인에게 베를린 대학 정교수직과 새로 건립된 물리-기술 제국연구소(PTR)의 소장 자리를 제안했다. 강의나 잡무에 시달리지 않고 연구에 몰두할 수 있는 최적의 조건이었다. 아인슈타인으로서는 이를 사양할 아무런 이유가 없었다. 드디어 1914년 3월말에 아인슈타인은 취리히를 떠나 베를린으로 갔다. 베를린에서 아인슈타인은 그 누구보다 행복한 생활을 하며 연구에 몰두했다. 

하지만 세상은 복잡했다. 모처럼 찾아온 자유로운 학문의 기회는 1914년 7월 28일에 오스트리아가 세르비아에 선전포고를 하면서 얽히기 시작했다. 그 해 10월 프러시아 과학학술원에서 아인슈타인은 그로스만과의 공동연구의 방법과 결과에 대한 더 체계적이고 상세한 논의를 담은 논문을 발표했지만, 결과적으로 보았을 때 물리적 논변도 틀려 있었다. 게다가 그로스만과의 공동연구가 끝난 상태에서 텐서해석학에 대한 기본을 이해하지 못하고 있었다. 나중에 일반상대성이론의 정립에 매우 중요한 역할을 하게 된 비앙키 항등식에 대해 아인슈타인은 무지했다. 그는 여전히 선형변환에만 불변인 중력장방정식에서 벗어나지 못하고 있었다.

1914년 겨울 무렵의 아인슈타인은 사람들의 선망 속에 새로 얻은 일자리에서 다른 이들의 기대에 제대로 미치지 못하는 오류투성이의 논문을 궁여지책으로 발표하는 평범한 교수에 지나지 않아 보였다. 다행히 당시로서는 아인슈타인의 접근이 오류투성이라는 것을 알고 있는 사람은 아인슈타인을 포함하여 아무도 없었고, 그 오류투성이를 처음 알아낸 것은 바로 아인슈타인이었다. 

물론 그렇게 쉽게 포기할 아인슈타인은 아니었다. 몇 달 동안 새로운 도시에서의 삶에 적응하는 기간이 지나자, 아인슈타인은 바로 다시 자신의 문제로 복귀했다. 마침 1915년 6월 28일 힐베르트가 볼프스켈 재단의 후원을 이용하여 아인슈타인을 괴팅겐 대학으로 초빙해 세미나를 하게 했고, 이는 아인슈타인이 일반상대성이론의 확립으로 나아가는 데 매우 중요한 계기가 되었다.

[그림 4] 1915년 괴팅겐대학의 세미나에서 아인슈타인은 힐베르트를 만난다. (영상보기 – 클릭)

아인슈타인은 7월 7일에 친구에게 보낸 편지에서 괴팅겐 대학에서의 자신의 강연을 “이제까지의 이미 매우 명확한 중력이론”이라고 자신만만하게 묘사했다. 그러나 아인슈타인은 1915년 7월에서 10월 사이에 자신의 생각을 심각하게 수정했다. 

나중에 조머펠트에게 보낸 편지에 따르면, 그 4개월 동안 아인슈타인은 이전의 이론에서 나타나는 세 가지 문제점을 깨달았다.

(1) 일정하게 회전하는 좌표계에서의 중력장은 이전의 중력장 방정식을 만족하지 않는다는 점,
(2) 수성의 근일점의 운동이 100년 동안 45″가 아니라 18″가 나온다는 점,
(3) 하밀토니안 함수의 임의성이 그것이다.

아인슈타인은 새로운 상대성이론과 중력이론을 만드는 데 골몰했다.

1915년 11월 4일 아인슈타인은 그로스만과의 공동연구에서 얻었던 이전의 중력장방정식을 과감히 버렸다. 중력장방정식이 선형변환에 대해 불변이어야 한다는 요건을 포기하고 일반 공변성을 강하게 움켜잡았다. 연구는 순조로웠다. 1915년 11월 18일 아인슈타인은 새로운 중력 이론의 두 가지 관측결과에 대한 논문을 발표했다.

수성의 근일점의 세차운동이 100년 동안 43″임(아인슈타인이 인용한 관측치는 45±5″)을 유도했고, 중력장에서 빛의 휘어짐을 이전에 자신이 계산했던 것(0.83″)의 2배(1.6″)로 고친 것이 이 때였다. 드디어 1915년 11월 25일 프러시아 과학학술원 물리학-수학 분과에서는 아인슈타인의 “중력장 방정식”이라는 제목의 논문이 발표되었고, 1916년 3월 20일에 “일반상대성이론의 기초”라는 제목의 논문이 「물리학 연보」(Annalen der Physik)에 접수되었다.

일반상대성이론이 탄생한 순간이었다. 아인슈타인은 이 최종결과에 적이 만족했다. 이 최종결과로부터 계산된 수성의 근일점 이동은 이미 오래 전에 정밀하게 관측된 값과 잘 맞아 떨어졌고, 이론 내적으로도 사실상 빈틈없는 논리적으로 완결된 체계를 구성한 것이었다. 특수상대성이론을 고안하게 된 동기 중 하나였던 “물리 법칙은 모든 좌표계에서 동등하다”는 원리도 잘 충족시켰고, 중력이 약한 경우에 고전적으로 잘 확립된 중력의 뉴턴-프와송 이론도 도출되었다.

명실 공히 새로운 그리고 올바른 중력이론을 얻은 것이었다. 이제 남은 것은 이 새로운 중력장방정식을 풀어서 시간과 공간의 근본적인 모습을 밝혀내고 이를 해석하는 일이었다. 다음에 살펴볼 주제가 바로 이것이다.


쉬어가는 이야기 : “아인슈타인의 표절?”

[그림 5] Albert Einstein(1879~1955)-왼쪽, David Hilbert(1862~1943)-오른쪽 (사진 : Medium.com)

1915년 괴팅겐에 방문연구를 갔던 아인슈타인이 중력장 방정식의 최종적인 형식을 얻게 된 것은 다비트 힐베르트의 직접적인 공로였다. 아인슈타인과 달리, 힐베르트는 과감하게 이를 최소작용의 원리로 끌어올릴 것을 제안했고, 실제로 힐베르트 자신이 그러한 중력의 작용량을 유도했다. 최소작용의 원리는 뉴턴역학이나 전자기학을 비롯하여 모든 동역학이론을 작용량이라 부르는 수학적 함수로부터 도출할 수 있는 근본적인 원리다. 작용량을 유도할 수만 있다면 동역학의 기본방정식을 정확하게 얻을 수 있다. 

아인슈타인이 중력장 방정식이 포함된 일반상대성이론을 프로이센 학술원 학술대회에서 발표한 논문은 12월 2일에 출판되었다. 하지만 아인슈타인의 방정식과 정확히 같은 방정식이 담긴 힐베르트의 논문이 투고된 것은 1915년 11월 20일이다. 이 논문이 출판된 것은 1916년 3월 31일이지만, 아인슈타인의 논문이 프러시아 과학학술원에서 발표된 것이 1915년 11월 25일이니까 분명히 아인슈타인보다 5일 빠르다. 더 흥미로운 것은 아인슈타인이 중력장 방정식을 유도하는 과정에서 힐베르트와 직접적으로 경쟁하고 있었고, 힐베르트가 아인슈타인에게 11월 18일에 보낸 편지에 포함된 초고가 상당한 영향을 끼쳤으리라는 점이다. 

겸손한 수학자 힐베르트는 이 유도과정에서 굳이 자신이 공로를 세웠다고 주장하지 않고, 오히려 스위스에서 온 젊은 물리학자에게 공로를 양보했다. 어쩌면 수학계에서 거장으로 널리 존경받고 있던 힐베르트로서는 굳이 새로운 공로를 주장할 필요도 없었을 것이다. 그러나 독일 정부로부터 파격적인 대우를 받으며 베를린에 가게 된 아인슈타인으로서는 그런 양보의 마음이 생기기 힘들었을지도 모른다. 

아인슈타인의 전기를 쓴 알브레히트 푈징은 아인슈타인이 동료의 연구를 “공용의 것으로 만들었다”(nostrifiziert, nostrified)라고 주장하고 있다. 이것은 아인슈타인이 힐베르트가 유도한 방정식을 표절했다거나 훔쳤다는 의미는 아니지만, 그래도 아인슈타인 혼자 이루어낸 업적이 아니라는 점에서 ‘힐베르트-아인슈타인 중력장 방정식’이라고 부르는 게 정당할 것이다.

– 다음 회에 계속 됩니다. – 제5회 “일반상대성이론을 푼다는 것” (9/10)

[그림 6] 상대성이론의 역사 (영상보기 – 클릭)

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