편광과 양자역학의 상태
디랙은 양자역학의 이론을 강의하면서 수학적 정식화에 앞서서 물리적 직관을 잘 보여주는 대표적인 사례를 제시하려 했습니다. 이것이 바로 빛의 편광입니다. 편광은 선글래스나 편광판으로 쉽게 볼 수 있습니다. 자동차 창문의 '코팅'이라 부르는 것도 실상은 편광필터입니다. 스마트폰에도 편광필터를 쓰기 때문에 선글래스를 끼면 스마트폰이 잘 안 보입니다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Polarizer
편광을 직관적으로 느끼기 좋은 시범실험이 MIT Open Course에 있습니다
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선형편광의 경우 특정 방향에 수평한 것과 수직한 것으로 나뉩니다. 편광판을 지나기 전에는 수평한 것과 수직한 것이 섞여 있는데, 편광판을 지나고 나면 그 편광판의 방향만 남습니다. 이것이 디랙이 말한 편광판을 지나면 특정의 상태가 준비된다는 것입니다.
이를 직관적으로 알기 쉽게 설명한 비디오가 아래에 있습니다. (이런 비디오를 보면 어쩌면 이렇게 알기 쉽게 잘 설명해 주고 또 시각자료를 잘 사용할까 하고 놀라게 됩니다.)
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이렇게 상태를 정의하는 것은 일견 위치와 운동량 또는 위치와 속도로 상태를 규정하는 고전역학의 방식과 다른 듯 보입니다. 그러나 결국 고전역학에서도 병행운동(translational motion)의 상태를 말하는 것이고, 특히 파동의 상태를 말할 때에는 위치와 운동량이 부적합한 면이 있습니다.
그런데 빛은 이렇게 편광을 보일 뿐 아니라 간섭현상을 보입니다. 토머스 영이 했다고 알려진 겹실틈 실험이 바로 그런 것입니다. 이를 가장 쉽게 설명하는 방법은 빛의 두 파동이 더해졌다고 말하는 것입니다. 두 파동을 $u(x, t)$와 $v(x, t)$라고 쓰면, $$a u(x, t) + b v(x, t)$$도 또 다른 파동이 됩니다.
파동을 $\psi_1 (x, t)$와 $\psi_2 (x, t)$로 쓰고 계수도 숫자를 이용하여 $c_1 , c_2$라 쓰고 위의 서술을 고쳐 쓸 수 있습니다. 즉 $\psi_1 (x, t)$와 $\psi_2 (x, t)$가 파동을 나타내면, $$c_1\psi_1 (x, t) + c_2\psi_2 (x, t)$$도 파동을 나타냅니다. 이렇게 숫자를 도입하면 함수가 여러 개 있는 경우로 쉽게 일반화시킬 수 있습니다. 즉 $$\psi_1 (x, t), \psi_2 (x, t), \cdots$$가 파동을 나타내면, $$c_1\psi_1 (x, t) + c_2\psi_2 (x, t) + \cdots$$도 파동을 나타냅니다. 이것이 바로 '중첩 원리'의 핵심 주장입니다.
이런 더하기를 수학자들이 익숙한 표현으로 바꾸면, $$\sum_{j=1} ^\infty c_j \psi_j (x, t)$$가 됩니다. 여기에서 그리스 문자 '시그마'의 대문자인 $\Sigma$는 라틴어 summa 또는 영어로 summation을 나타내는 기호로서, 1755년 스위스의 수학자 에른하르트 오일러가 처음 도입했습니다. ["summam indicabimus signo $\Sigma$." L. Euler, Inslituliones calculi differentialis (St. Petersburg, 1755), Cap. I, §26, p. 27.]
요컨대, '중첩' 또는 '선형결합'은 편광과 같은 빛의 독특한 성질을 나타내기에 적합한 수학적 개념이고, 이를 쉽게 양자역학의 상태를 기술하는 도구로 사용할 수 있습니다.
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