(*) 속도와 '감마 인수'와 쌍곡삼각함수
작성자
자연사랑
작성일
2020-01-25 10:34
조회
11931
특수상대성이론을 소개하는 책에는 예외 없이
$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
라는 인수가 등장합니다.
<장회익의 자연철학 강의> 174쪽에도 이 식이 나옵니다. 장회익 선생님은 독특하게도 로렌츠 변환을 굳이 상세하게 도입하지 않은 채 속도 덧셈만으로 고유시간과 4-벡터 개념을 얻어내셨지만, 여하간 특수상대성이론을 이해하기 위한 중요한 관건이 로렌츠 변환인 것은 사실입니다.
이를 가장 간단하게 도입하는 방법으로 쌍곡삼각함수를 소개하려 합니다.
삼각함수는
$$\begin{align}
&\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \\
&\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\end{align}$$
로 정의된다고 할 수 있는데, 위의 식은 반지름 1인 원을 표현합니다.
이와 유사하게 쌍곡삼각함수는
$$\begin{align}
&\cosh^2\theta - \sinh^2\theta = 1 \\
&\tanh\theta = \frac{\sinh\theta}{\cosh\theta}
\end{align}$$
로 정의합니다. 여기에서 위의 식이 쌍곡선을 나타냅니다. 쌍곡선이 영어로 hyperbola이고 쌍곡삼각함수가 hyperbolic function이라서 함수이름 끝에 'h'를 덧붙입니다.
사족입니다만, $\tanh \theta$와 $\tan h\theta$는 의미가 다릅니다. 뒤의 표현에서는 탄젠트의 '각' 부분에 $h\theta$가 들어간 것이므로 $\tan(h\theta)$라는 의미입니다. 이런 혼동을 피하기 위해 함수 이름은 반드시 기울임체가 아닌 반듯한 정자체로 씁니다.
쌍곡삼각함수의 경우에도 삼각함수와 유사한 여러 공식이 있습니다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
대표적으로 덧셈 공식을 비교하면 아래와 같습니다.
$$\begin{align}
\tan(\alpha+\beta)&=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \\
\tanh(\alpha+\beta)&=\frac{\tanh\alpha+\tanh\beta}{1+\tanh\alpha\tanh\beta}
\end{align}$$
뒤에 쓸 공식으로 $\cosh^2\theta-\sinh^2\theta=1$의 양변을 $\cosh^2\theta$로 나누면
$$1- \frac{\sinh^2\theta}{\cosh^2\theta} = 1-\tanh^2\theta = \frac{1}{\cosh^2\theta}$$
이므로
$$\frac{1}{1- \tanh^2\theta} = \cosh^2\theta$$
이고, 따라서
$$\frac{1}{\sqrt{1- \tanh^2\theta}} = \cosh\theta$$
임을 유도할 수 있습니다.
대략 말하면, 보통의 삼각함수에서 마이너스 부호가 나오는 곳이 모두 플러스로 바뀐다고 할 수 있습니다. 더 정확히 말하면 '오스본의 규칙'(1902)이라고 해서, 보통의 삼각함수 공식에서 $\sin \rightarrow \sinh$, $\cos \rightarrow \cosh$ 등으로 바꾼 뒤, $\sinh$가 곱해져 있는 항의 부호를 죄다 바꾸면, 쌍곡삼각함수에 대한 공식이 됩니다. 거의 대부분의 경우에 성립합니다.
삼각함수와 아래와 같은 관계가 성립합니다.
$$\tanh\phi=-i\tan(i\phi)$$
쌍곡삼각함수를 이용하면 $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$나 로렌츠 변환을 간단하게 표시할 수 있습니다.
우선 속도를
$$v = c \tanh \phi$$
와 같이 나타내기로 합니다. 이 때 $\phi$를 상대론적 빠르기라 부릅니다. $-1<\tanh \phi<1$이기 때문에 이렇게 나타내는 순간 속도의 최대값이 $c$가 됩니다. $\phi\rightarrow\infty$이면 $v\rightarrow c$가 됩니다.
쌍곡삼각함수의 성질을 이용하여
$$\begin{align}
\gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
=\frac{1}{\sqrt{1-\tanh^2\phi}}=\cosh\phi\\
\frac{v}{c}\gamma&=\tanh\phi \cosh\phi =\frac{\sinh\phi}{\cancel{\cosh\phi}} \cancel{\cosh\phi}=\sinh\phi
\end{align}$$
를 얻습니다.
이제 로렌츠 변환
$$\begin{align}
t' &= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} ( t - \frac{v}{c^2} x ) \\
x' &= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} (x - v t)
\end{align}$$
를
$$\begin{align}
ct' &= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} ( ct - \frac{v}{c} x ) \\
x' &= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} (x - \frac{v}{c} c t)
\end{align}$$
로 쓰면
$$\begin{align}
ct' &= ct \cosh\phi- x\sinh\phi \\
x' &= -ct \sinh\phi + x\cosh\phi
\end{align}$$
또는
$$\pmatrix{ ct' \\ x' } = \pmatrix{
\cosh\phi & - \sinh\phi \\
- \sinh\phi & \cosh\phi }\pmatrix{ ct \\ x }$$
와 같은 간단한 모양이 됩니다.
2차원에서 회전변환을 나타내는
$$\pmatrix{ x' \\ y' } = \pmatrix{
\cos\theta & - \sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta }\pmatrix{ x \\ y }$$
와 유사한 꼴입니다.
위의 쌍곡삼각함수로 표현한 변환을 그래프로 나타내면 아래와 같습니다.
(그림 출처: https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/5-5-the-lorentz-transformation)
위의 로렌츠 변환이 어떻게 이 도표로 표현되는지 조금 더 살펴보겠습니다.
가령 $(x, ct)$가 수평축과 수직축으로 표시된 상태에서 $x'$축을 그려보기로 합니다. $x$축이 $t=0$인 것과 꼭 마찬가지로 $x'$축은 $t'=0$인 직선으로 표시됩니다. 앞에서
$$ct'=ct \cosh\phi - x \sinh\phi$$
이므로 $ct'=0$이면
$$0=ct \cosh\phi - x \sinh\phi$$
또는
$$ct= x \frac{\sinh\phi}{\cosh\phi}=x\tanh\phi$$
입니다. 즉 기울기가 $\tanh\phi$인 직선이 됩니다.
마찬가지로 $t'$축은 $x'=0$이므로
$$ 0=x' = -ct \sinh\phi + x\cosh\phi $$
이어서
$$ ct= x \frac{\cosh\phi}{\sinh\phi}=x\coth\phi$$
인 직선이 됩니다.
위의 그림에서 각을 $\alpha=\tan^{-1}(v/c)$라고 한 것은 정확하지 않음을 알 수 있습니다. 정확하게 쓰면
$$\alpha=\tanh^{-1}(v/c)$$
라 써야 합니다.
이 시공간 도표에서 또 하나 주목할 점은 $v \rightarrow c$일 때 $\tanh \phi \rightarrow 1$이므로 기울기가 45도인 직선으로 수렴한다는 점입니다. 또한 속도는 맨 처음부터 $c$를 넘을 수 없도록 맞추어져 있습니다.
이제 쌍곡삼각함수를 쓰면 속도의 덧셈이 아주 자연스러워집니다. 고전적으로 속도의 덧셈은
$$v_1 + v_2$$
로 여겨지지만, '감마 인수'를 고려한 상대성이론에서의 속도 덧셈은
$$\phi_1 + \phi_2$$
이어야 합니다. 그리고 이를 보통의 속도로 환산하면 ($c=1$로 두거나 속도를 광속의 몇 배가 되는지로 잰다면)
$$v_1 \oplus v_2 = \tanh(\phi_1 + \phi_2 ) =\frac{\tanh\phi_1 + \tanh\phi_2}{1+\tanh\phi_1 \tanh\phi_2}=\frac{v_1 + v_2}{1+v_1 v_2}$$
이 됩니다. 이미 앞에서 얻었던 결과와 일치합니다. 광속을 살려서 쓰면
$$v_1 \oplus v_2 = \frac{v_1 + v_2}{1+\frac{v_1 v_2}{c^2}}$$
입니다.
$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
라는 인수가 등장합니다.
<장회익의 자연철학 강의> 174쪽에도 이 식이 나옵니다. 장회익 선생님은 독특하게도 로렌츠 변환을 굳이 상세하게 도입하지 않은 채 속도 덧셈만으로 고유시간과 4-벡터 개념을 얻어내셨지만, 여하간 특수상대성이론을 이해하기 위한 중요한 관건이 로렌츠 변환인 것은 사실입니다.
이를 가장 간단하게 도입하는 방법으로 쌍곡삼각함수를 소개하려 합니다.
삼각함수는
$$\begin{align}
&\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \\
&\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\end{align}$$
로 정의된다고 할 수 있는데, 위의 식은 반지름 1인 원을 표현합니다.
이와 유사하게 쌍곡삼각함수는
$$\begin{align}
&\cosh^2\theta - \sinh^2\theta = 1 \\
&\tanh\theta = \frac{\sinh\theta}{\cosh\theta}
\end{align}$$
로 정의합니다. 여기에서 위의 식이 쌍곡선을 나타냅니다. 쌍곡선이 영어로 hyperbola이고 쌍곡삼각함수가 hyperbolic function이라서 함수이름 끝에 'h'를 덧붙입니다.
사족입니다만, $\tanh \theta$와 $\tan h\theta$는 의미가 다릅니다. 뒤의 표현에서는 탄젠트의 '각' 부분에 $h\theta$가 들어간 것이므로 $\tan(h\theta)$라는 의미입니다. 이런 혼동을 피하기 위해 함수 이름은 반드시 기울임체가 아닌 반듯한 정자체로 씁니다.
쌍곡삼각함수의 경우에도 삼각함수와 유사한 여러 공식이 있습니다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
대표적으로 덧셈 공식을 비교하면 아래와 같습니다.
$$\begin{align}
\tan(\alpha+\beta)&=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \\
\tanh(\alpha+\beta)&=\frac{\tanh\alpha+\tanh\beta}{1+\tanh\alpha\tanh\beta}
\end{align}$$
뒤에 쓸 공식으로 $\cosh^2\theta-\sinh^2\theta=1$의 양변을 $\cosh^2\theta$로 나누면
$$1- \frac{\sinh^2\theta}{\cosh^2\theta} = 1-\tanh^2\theta = \frac{1}{\cosh^2\theta}$$
이므로
$$\frac{1}{1- \tanh^2\theta} = \cosh^2\theta$$
이고, 따라서
$$\frac{1}{\sqrt{1- \tanh^2\theta}} = \cosh\theta$$
임을 유도할 수 있습니다.
대략 말하면, 보통의 삼각함수에서 마이너스 부호가 나오는 곳이 모두 플러스로 바뀐다고 할 수 있습니다. 더 정확히 말하면 '오스본의 규칙'(1902)이라고 해서, 보통의 삼각함수 공식에서 $\sin \rightarrow \sinh$, $\cos \rightarrow \cosh$ 등으로 바꾼 뒤, $\sinh$가 곱해져 있는 항의 부호를 죄다 바꾸면, 쌍곡삼각함수에 대한 공식이 됩니다. 거의 대부분의 경우에 성립합니다.
삼각함수와 아래와 같은 관계가 성립합니다.
$$\tanh\phi=-i\tan(i\phi)$$
쌍곡삼각함수를 이용하면 $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$나 로렌츠 변환을 간단하게 표시할 수 있습니다.
우선 속도를
$$v = c \tanh \phi$$
와 같이 나타내기로 합니다. 이 때 $\phi$를 상대론적 빠르기라 부릅니다. $-1<\tanh \phi<1$이기 때문에 이렇게 나타내는 순간 속도의 최대값이 $c$가 됩니다. $\phi\rightarrow\infty$이면 $v\rightarrow c$가 됩니다.
쌍곡삼각함수의 성질을 이용하여
$$\begin{align}
\gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
=\frac{1}{\sqrt{1-\tanh^2\phi}}=\cosh\phi\\
\frac{v}{c}\gamma&=\tanh\phi \cosh\phi =\frac{\sinh\phi}{\cancel{\cosh\phi}} \cancel{\cosh\phi}=\sinh\phi
\end{align}$$
를 얻습니다.
이제 로렌츠 변환
$$\begin{align}
t' &= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} ( t - \frac{v}{c^2} x ) \\
x' &= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} (x - v t)
\end{align}$$
를
$$\begin{align}
ct' &= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} ( ct - \frac{v}{c} x ) \\
x' &= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} (x - \frac{v}{c} c t)
\end{align}$$
로 쓰면
$$\begin{align}
ct' &= ct \cosh\phi- x\sinh\phi \\
x' &= -ct \sinh\phi + x\cosh\phi
\end{align}$$
또는
$$\pmatrix{ ct' \\ x' } = \pmatrix{
\cosh\phi & - \sinh\phi \\
- \sinh\phi & \cosh\phi }\pmatrix{ ct \\ x }$$
와 같은 간단한 모양이 됩니다.
2차원에서 회전변환을 나타내는
$$\pmatrix{ x' \\ y' } = \pmatrix{
\cos\theta & - \sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta }\pmatrix{ x \\ y }$$
와 유사한 꼴입니다.
위의 쌍곡삼각함수로 표현한 변환을 그래프로 나타내면 아래와 같습니다.
(그림 출처: https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/5-5-the-lorentz-transformation)
위의 로렌츠 변환이 어떻게 이 도표로 표현되는지 조금 더 살펴보겠습니다.
가령 $(x, ct)$가 수평축과 수직축으로 표시된 상태에서 $x'$축을 그려보기로 합니다. $x$축이 $t=0$인 것과 꼭 마찬가지로 $x'$축은 $t'=0$인 직선으로 표시됩니다. 앞에서
$$ct'=ct \cosh\phi - x \sinh\phi$$
이므로 $ct'=0$이면
$$0=ct \cosh\phi - x \sinh\phi$$
또는
$$ct= x \frac{\sinh\phi}{\cosh\phi}=x\tanh\phi$$
입니다. 즉 기울기가 $\tanh\phi$인 직선이 됩니다.
마찬가지로 $t'$축은 $x'=0$이므로
$$ 0=x' = -ct \sinh\phi + x\cosh\phi $$
이어서
$$ ct= x \frac{\cosh\phi}{\sinh\phi}=x\coth\phi$$
인 직선이 됩니다.
위의 그림에서 각을 $\alpha=\tan^{-1}(v/c)$라고 한 것은 정확하지 않음을 알 수 있습니다. 정확하게 쓰면
$$\alpha=\tanh^{-1}(v/c)$$
라 써야 합니다.
이 시공간 도표에서 또 하나 주목할 점은 $v \rightarrow c$일 때 $\tanh \phi \rightarrow 1$이므로 기울기가 45도인 직선으로 수렴한다는 점입니다. 또한 속도는 맨 처음부터 $c$를 넘을 수 없도록 맞추어져 있습니다.
이제 쌍곡삼각함수를 쓰면 속도의 덧셈이 아주 자연스러워집니다. 고전적으로 속도의 덧셈은
$$v_1 + v_2$$
로 여겨지지만, '감마 인수'를 고려한 상대성이론에서의 속도 덧셈은
$$\phi_1 + \phi_2$$
이어야 합니다. 그리고 이를 보통의 속도로 환산하면 ($c=1$로 두거나 속도를 광속의 몇 배가 되는지로 잰다면)
$$v_1 \oplus v_2 = \tanh(\phi_1 + \phi_2 ) =\frac{\tanh\phi_1 + \tanh\phi_2}{1+\tanh\phi_1 \tanh\phi_2}=\frac{v_1 + v_2}{1+v_1 v_2}$$
이 됩니다. 이미 앞에서 얻었던 결과와 일치합니다. 광속을 살려서 쓰면
$$v_1 \oplus v_2 = \frac{v_1 + v_2}{1+\frac{v_1 v_2}{c^2}}$$
입니다.
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로렌츠 변환을 그래프로 나타낼 때, 좌표축의 이동 부분에서, x' 축은 tanh alpha 만큼 이동되고, ct' 축은 coth alpha 가 됩니다. 그런데 왜 두 축이 v=c 인, 45도인 직선에 대칭이 되느냐? 그건 coth = 1/ tanh 이기 때문입니다. ( y = 1/x 가 y=x 에 대칭이지요. 증명하려면 한 점을 잡고, 그 대칭점을 잡고, 두 점을 이은 직선의 기울기가 -1 이 된다는 걸 보이면 된다지만, 그냥 외워 씁니다 ^^ ) 왜 좌표축이 회전변환이 아니라 45도 직선에 대칭인지, 드디어 알게 되었습니다. 감사합니다 !!
감사합니다. 중등과정 수학 시간에 직선의 그래프를 그리면서 $y=3 x$와 $y=\frac{1}{3}x$는 45도 기울어진 직선을 기준으로 대칭임을 배우게 되는데, 그것을 여기에도 적용할 수 있습니다. 하지만 그런 수학 자체가 무엇인가 사고하고 추론하는 데 사용하는 게 아니라 지저분하게 꼬여 있는 문제 풀이에만 사용되고, 수학을 배우는 것 자체가 시험 점수를 위한 것이어서 수많은 학생들에게 고통만을 주고 있는 현실이 너무나 안타깝습니다.